教学目标

1.引导学生阅读材料，获区数学信息，并在合作探究过程中发现一笔画图形的特征与规律，能运用所学知识解决实际问题

2.在数学活动中学会合作，积极与他人交流，获得成功体验，体会数学与生活的密切联系

教学重难点

发现一笔画图形的特征与规律，运用知识解决实际问题

教学准备

课件、小组合作作业纸

教学过程

一、故事引入，揭示课题

师：这节课得从一个故事开始，这个故事发生在18世纪哥尼斯堡（课件演示），有一条河流经这里，河中有两个小岛，岛上有七座桥把两岸和小岛联系起来。这里风景优美，游人众多，就在这美丽的地方，游人们不禁想起这样一个问题：“我能一次走遍七座桥而不重复吗？看似简单的问题，许多人跃跃欲试却始终没有成功。这件事情在当时引起了很多数学家的关注，直到1736年，瑞士的数学家欧拉终于彻底解决了这个问题。他的方法非常巧妙，他想：人们关心的只是能不能一次走遍七座桥而不重复，对于岛的大小、桥的长短并不关心。他充分利用自己的智慧把两岸和小岛想成是4个点，把七座桥想成是连接这4个点的7条线段，这样就把一个生活中走桥的实际问题转化成一个图形能否一笔画成的数学问题。（板书：实际问题→数学问题）他认为这个图形能一笔画成就说明游人能一次走遍七座桥而不重复，反之游人的愿望则不能实现。（板书：一笔画）一笔画你认为是怎样画呢？

预设：

生1：一笔画就是一笔画完，不遗漏不重复

生2一笔画就是从图形的一个点出发不停顿一笔画完，每条边都要画到

师：好，这是你们的理解，让我们来看看数学家的解释

课件出示：从图形的一点出发，笔不离纸，每条边都只画一次，不准重复，也就是一个图形一笔勾画出

二、合作探究，发现规律

1.认识“连通图

师：这个图能一笔画成吗？怎样的图可以一笔画出呢？今天我们就有关“一笔画”的问题展开研究

师：在研究之前，我们先阅读一些介绍

课件出示：在数学中，每个图形都是由一些连接点和线（边）组成，如果图中的任意两个点之间都有一条通路，我们就把它称为“连通图

师：你认为判断一个图是不是连通图关键看什么？

生：看是不是任何两个点之间都有通路

提问：下列图形中，哪些图形是连通图哪些图形不是连通图？请说出理由

课件出示：

师：在刚才的辨析中我们发现，有些图形是连通图，有些图形不是连通图，你认为要想一笔画成的图首先必须是怎样的图呢？

生：首先必须是连通图。（师板书：连通图）

师：从上图中很容易看出，能一笔画的图首先必须是连通图，但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？有兴趣研究下去吗？

2认识奇点、偶点

师：为了方便研究，先来认识连通图中的连接点，通常情况下我们把与单数条边相连的点叫做奇点，把与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。（课件出示

图中的A点是什么点？为什么？B点、C点呢生：A点、B点都是奇点，它们连了三条边，C点连了两条边，所以它是偶点

提问：（课件出示）图中哪些点是奇点，哪些点是偶点？

追问：这个图有2个奇点、6个偶点，它能一笔画成吗？怎样画？

师：我发现这两位同学都是从奇点出发开始画，有没有从偶点出发一笔画成的？试试看

师：由此你们会有怎样的猜想呢？

生1能一笔画成的图必须要有两个奇点

生2：一笔画成的图一定要从奇点出发再画到另一个奇点结束

师：综合你们的观点就是一笔画成的图和奇点、偶点似乎有着一定的关系，有怎样的关系呢？朝着这个方向我们进一步研究下去看会有怎样的收获？

3探究规律

师：这里收集了4组图形，分小组合作探究，先找出每个图形分别有几个偶点和奇点？并试一试每个图形能不能一笔画成

课件出示：

学生小组操作后引导学生汇报，根据学生的回答把奇点数、偶点数、能否一笔画成填入课件中的表格里

师：（指课件中的表格）从表格中我们发现有的连通图能一笔画成，有的连通图不能一笔画成，刚好证明了我们的猜测不是所有的连通图都能够一笔画成。为了方便观察、分析，我们把能一笔画成的用变色的方法整理出来。现在请仔细观察并思考：“怎样的连通图能一笔画出？把你的想法同小组同学交流

师：再想想，换个什么字表达会更恰当？生3：应该是奇点个数是0个或2个的才可以一笔画成

师：“和”改为“或”，一字之差，意思一样吗？

生：不一样，或就是说有两种情况，要么是0个奇点、要么是2个奇点的连通图才可以一笔画成

师：真好，我们学习数学就要用准确精练、严密的语言来表达。0个奇点也就是全部都是偶点。（板书：0个奇点（全部是偶点）或2个奇点）

师：0个奇点或2个奇点的连通图在一笔画时有什么不同吗？愿不愿意亲自体验

课件出示体验要求

（1）先从合作材料中选出一个全部是偶点的图形，在图上试着用不同的方法一笔画出

（2）再选出一个只有两个奇点的图形，也试试

（3）画完以后有什么新的发现，和小组同学交流交流

小组操作讨论，教师巡视

师：有新的发现吗？

生1全部是偶点的图形从任何一个偶点出发再画回到这个偶点。（教师根据学生的回答结合课件演示验证）

生2：2个奇点的图形从一个奇点出发画到另一个奇点结束。（教师根据学生的回答结合课件演示验证）

师：研究到这里，我们可以说是硕果累累啊，谁愿意来把我们的研究成果进行梳理总结

生：一笔画的图形首先必须是连通图，0个奇点或2个奇点的连通图能一笔画成，它们在画法上有不同，0个奇点的连通图从任何一个偶点出发再画回到这个偶点，2个奇点的连通图从一个奇点出发画到另一个奇点结束

三、走进生活，运用规律

师：数学来源于生活，又能服务于生活，一笔画问题在我们身边无处不在。接下来，我们就一同走进生活，运用“一笔画”知识解决身边的实际问题

师：现在我们再回到七桥问题上来游人们的愿望能实现吗？为什么？

生：不能，因为它有4个奇点不能一笔画成

1下图是某游乐园的平面图，如果你想一次走遍所有的路，玩遍每个游乐项目，不走重复路，应该先玩哪个项目？

课件出示

生：应该先玩海盗船或碰碰车，因为这两个项目所在的位置是奇点

2下图是一个商场的平面图（阴影部分为各商品部，空白处为通道），有六个门可以进出商场，顾客能否从任何一个门进入，走遍所有通道而不重复？

课件出示

师：这是生活中的平面图，你能学学欧拉也把它转化成数学中的平面图吗？

生：把6个门想成是6个点，把所有的通道想成是连接6个点的线段。（教师根据学生的回答结合课件演示完成画图）

师：你认为能实现吗？为什么？

生：不能，只能从C或D两个门进入因为只有这两个点是奇点

四、总结收获，课堂延伸

师：通过这节课的学习你有什么感受要和同学们分享？

生1：我掌握了一笔画的有关知识，并且能应用它解决实际问题

生2今后我去游乐场游玩一定会先看平面图，这样就可以合理安排时间，不走重复路。

师：我们把生活中走桥的实际问题转化成了数学问题来研究，得到的规律反过来又可以帮助我们更好地解决实际问题。（板书：←）课后改造哥尼斯堡城的七桥，让游人的愿望得以实现。