对称，让问题变的更简单

币有两面，随手抛下，非正即反，机会均等。骰有六面,随手抛下,结果难料,机会均等。

从抛硬币到掷骰子，从2面到6面，展示出对称性质可扩展的空间。

如果换一个角度来看,问掷骰子所得的数是奇数还是偶数，那就和抛硬币猜正反没有区别。于是便衍生出这样的问题:

用1、2、3、4、5、6这六个数字组成没有重复数字的六位数,其中偶数共有多少个?

先来看总共可组成多少个六位数，六位数中的第一位可以排6个数中的任意一个，有6种可能;第二位可以排剩下5个数中的任意一个，有5种可能;第三位可以排剩下4个数中的任意一个，有4种可能;第四位可以排剩下了个数中的任意一个有3种可能;第五位可以排剩下2个数中的任意一一个，有2种可能;第六位，也就是末位数，没得选了,只有唯一的可能。 那么，总共可以组成6x5x4x3x2x 1=720(个)六位数。

在这720个数中,不是所有的数都符合条件,还要看末尾是奇数还是偶数。在1、2、3、4、5、6这6个数中,偶数占一半，末尾那个数是偶数的可能性也是一半，那么,偶数应该有720+ 2=360(个)。

其实，我们还有一种巧妙的方法来说明，在这720个六位数中，奇数和偶数的个数是一样多的，就是一一对应。

什么是一一对应?

举个例子来说吧。公园里开晚会,来了很多人。到底来了多少人呢?收门票的师傅能告诉你答案，只要数一下他手里收到的票根就好了。每人一张票，收到多少票根,就来了多少人。每一张票根对应一个人，这就叫一一对应。

如果我们从720个数中任意找一个偶数出来，能否找到一个奇数与之对应呢?譬如给出偶数135246,那么我们可以给出奇数632421与之对应。632421 是怎么找出来的呢?细心的读者会发现: 135246=777777-632421。依照这个法子，我们就能将720个数中的偶数与奇数一一对应起来。

一一对应也是对称

一一对应何尝不是一种对称呢?譬如下面这只蝴蝶，我们把它看作是一个对称图案，无非就是左边有的，右边也有，一-对应!可惜，世间万事万物，并不总偶是对称的!譬如将前面那道题稍加修改。的

用0、1、2、3、4、5这六数个数字组成没有重复数多字的六位数,其中偶数共有多少个?

也许有人追不及待地抢答,干还是360个啊。0、1、2、3、4、5这六个数字，奇数偶数各占一半，不就是720 + 2= 360吗?

可问题是奇数1、3、5都可以排首位，但偶数中只有2和4话幽能排首位,0不能作为六位数的首位。这时候，奇数偶数数学已经不再对称!

通过这个例子，我们发现对称与不对称，有时是可以相互转换的。接下来这个例子也充分说明了这一点。

有这样的两位数，它的十位上的数比个位上的数大，譬如31、52、84等，问这样的两位数有多少个?

两位数就是从10到99,我们按照十位上的数从小到大依次列出符合条件的数:(10),(20、21)，(30、31、32),(40、41、42、43).....(90、91、92 93......、98),总共有1+2+3+...+9=45(个)。

这里运用的是先分类讨论，再汇总相加的思路，我们也可以采用对称的思路分析。

十位上的数与个位.上的数比版式设计较大小，有三种可能:十位上的数大，如21;两关注本托者相等，如22;十精彩内容位，上的数小，如23。10~99,共90个数，减去其中11、22..99这样的9个数,还有81个数。假设大于和小于各占一半，那么，符合题目条件的两位数是40.5个，这可能吗?

显然不对。问题就出在大于和小于不是各占一半。在大部分情况下，十位上的数和个位上的数比较,除了相等之外，大于和小于是各占一半的。譬如18和81看作一对,34和43看作一对可是还有10、20、0......这些数，找不到两位数与之配对。如果我们换种思路,将1.、.......看成是01、02.0....这样的两位数，与10、20、30.....这些数配对，那么，大于和小于就真的各占一半了。

01~99共99个数，减去11、.....99这样的9个数，还有90个数。大于和小于各占一半，符合题目条件的两位数有45个。

对称,让问题变得简单!