【摘要】小学阶段是数学系统性学习的起始阶段，逻辑是数学的基础，从一定程度上讲，数学教学就是要培养学生的思维水平，提高逻辑思维能力。如果学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律而出现逻辑性错误，教师要针对学生出现的逻辑性错误典型错题进行成因分析和探索在教学中实施的错题教学策略，培养学生见微知著的逻辑能力，防数学逻辑错误于未然，实现作业“减量提质”，深入落实“双减”政策，促进学生全面发展。

【关键词】逻辑性错误；典型错题；成因分析；教学策略

在落实“双减”政策以来，对于如何提高小学数学课堂教学效率和小学生数学学习能力，进而达成“减量提质”的目标成为小学数学教学的工作，那减少学生的错误，也是实现“减量提质”目标的路径之一。

逻辑学遍布于任何一门学科，在数学学科中用之甚多，因此小学数学是一门逻辑性极强的学科。小学阶段是数学系统性学习的起始阶段，逻辑是数学的基础，从一定程度上讲，数学教学就是要培养学生的思维水平，逻辑思维能力即为重要。《义务教育数学课程标准（2022年版）》当中数学核心素养之一就是“会用数学的思维思考现实世界，及通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系，能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系”。因此学生利用数学逻辑思维去发现数学问题、揭示数学规律、解决实际问题，进而根筑逻辑思维能力。但是学生的数学学习逻辑出现问题，在学习中就会出现逻辑错误，形成逻辑性错题。

本文通过对逻辑知识的概述，指出学生在数学学习过程中出现的典型逻辑性错题，并对典型错题进行成因分析，进而针对学生出现的逻辑性错误探索教师在教学中实施的错题教学策略，深入落实“双减”政策，促进学生全面发展。

一、溯源逻辑

逻辑是应用逻辑知识进行相关的学习活动，小学数学中常用的逻辑知识主要是形式逻辑，形式逻辑是研究思维形式及其规律的科学，它包括概念、判断、推理、 证明或反驳等内容，其中概念、判断、推理贯串于全套小学数学教材的始终。逻辑思维就是学生掌握概念、判断和推理方法思维，进而形成的一种思维能力，即逻辑思维能力。但是学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生错误，从而形成了逻辑性错误导致逻辑性错题的产生，也就是说导致逻辑性错误不在于是否存在数学知识缺陷，而在于逻辑思维本身。（如图1）

图1  逻辑相关内容的关系图

二、逻辑性错误典型错题及成因分析

所谓逻辑性错误是指学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生的错误。数学中的概念、判断、推理都直接应用了逻辑知识，如果对概念的理解含糊不淸，不能进行只能正确判断，推理规则不清，就会导致逻辑性错误。在教学班级中，学生做题过程中犯逻辑性错误达到20%以上，就算作逻辑性错误典型错题。

在实践中，我们发现产生逻辑性错误典型错题的主要原因有以下这些方面。（一）概念方面

数学概念是现实世界事物数学关系和空间形式的质属性在人们头脑中的反映，是思维的细胞，概念分为内涵和外延，概念之间又有各种相互的关系。

1. 数学概念的内涵理解不深

概念的内涵是事物本质属性的总和，如果学生对概念的内涵理解不深刻，那么只要概念的内涵形式有所变化，就会频繁出现错误。

【典型错题1】根据要求写出下面数的近似数。

290267≈      （省略最高位后面的数） 1986420≈      （以“万”为单位）

学生错解：290267≈ 29万     1986420≈200万

分析：小学数学教材中近似数的概念是：生活中一些事物的数量，有时不需要用精确的数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数。从学生的解答来看，能理解用“四舍五入”的方法求近似数，但是对概念的形式变化要求的解答却存在逻辑性的错误。290267要求省略最高位后面的数，及省略最高位“十万位2”后面的数，但是学生由于思维定势按照省略“万”后面的数去解答。1986420要求以“万”为单位的近似数，及找到万位8，看千位上的6，学生能理解要求，也能找到万位，但是对“四舍五入”方法的应用出现错误，没有逐位“入舍”，而是看到前三位198，直接近似为200万，两题都犯了对“近似数”概念的本质内涵“比较接近”理解不够深入的逻辑性错误。

正确解答：290267≈ 30万     1986420≈199万

2. 数学概念的外延区分不清

概念的外延是适合于该概念的一切对象，但是如果用概念的内涵只是形式上的理解，那么对于概念的外延及具有相同本质的对象就不能进行清晰的分类。

【典型错题2】把不同类的图形圈出来。

学生错解：圈出“球”

分析：这是一道区分立体图形和平面图形的简单分类题，分类是揭示概念外延的逻辑方法，立体图形的概念是各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。在小学阶段外延是正方体、长方体、圆柱和球也是立体图形。由于学生对立体图形的外延区分不清，没有将三角形这样平面图形区分开而导致逻辑性错误。

正确解答：圈出“三角形”

（二）判断方面

判断是对事物的性质或关系做出肯定或否定的一种思维形式，是概念与概念的联合，它反映了概念相互之间的关系，是对某个事物属性的肯定或否定及判断并非都是正确的。也就是说判断的正确与否和对概念的理解是息息相关的。判断可分为简单判断和复杂判断，简单判断又可以分为性质判断和关系判断。（如图2）

图2  判断相关内容的关系图

1. 数学判断的分析欠缺

学生往往由于找不准数学量的性质，或者理不清其中的关系而导致逻辑性的判断错误。

【典型错题3】判断下列各题是否正确，对的打“√”，错的打“×”。

2是合数。（  ）

学生错解：打“√”

分析：这一题属于性质判断，及判定事物具有或不具有某种性质的判断。除了1和本身还有别的因数的数是合数，而能被2整除的数是偶数，及2是偶数，学生能理解两者的概念，但是不明白偶数和合数相互不具有对方的性质的，混淆了合数和偶数的本质而导致错误。比如变式性质判断，2是质数，但不是奇数。

正确解答：打“×”

【典型错题4】

（1）所有方程都是等式，所有等式也都是方程。（  ）

学生错解：打“√”

（2）小强三天看完一本书，平均每天看20页。他前两天每天看的页数都超过了20页，那么第三天看的页数（   ）

A.一定比20页多    B.正好20页    C.一定比20页少   D.可能比20页少

学生错解：选D

分析：这两题都属于关系判断，及判定事物间关系的判断，由关系项、关系和量项组成。其错因在于犯了限量不当的逻辑错误。第（1）题，因为所有方程都是等式，有的等式不一定是方程，前半句“所有方程都是等式”中的“所有”是全称量项，但后半句“所有等式也都是方程”中的量项“所有”使用不当，应该用特称量项“有的”，比如3+2=5，是等式，但不是方程，方程式含有未知数的等式。第（2）题，是对平均数内涵的判断，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，能较好的反映出一组数据的总体情况。错因在于学生不能准确确定是全称量项还是特称量项，也就是不能准确判断平均数的内涵。本题中的平均数是20，是反映的整体情况，既然前两天看的超过20页，那后三天看的一定比20页少。

正确解答：第（1）题打“×”，第（2）题选C

当然关于判断的逻辑性错误不胜枚举，在此就不赘述了。

（三）推理方面

推理是逻辑学的内容之一，它是由一个或几个已知的判断（命题），推出一个新的判断（命题）的思维方式，是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，这种思维方式是我们间接地探索思路获取新知识以及说明和论证问题的重要手段。推理一般包括合情推理和演绎推理，《义务教育数学课程标准》中指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。

数学推理不合乎逻辑规则和规律

学生在数学推理的过程中，判断之间可能没有逻辑关系，也可能有逻辑关系，但是合情推理过程中不合乎逻辑规则和逻辑规律，或者在演绎推理的过程中，中间步骤出现错误，从而导致逻辑性错误。

【典型错题5】

23÷5=4……3，230÷50=（  ）……（  ）

学生错解：因为230÷50=23÷5    23÷5=4……3

           所以230÷50=4……3

原因分析：学生在解答过程中，230÷50=23÷5这一步明显不合乎逻辑规则和逻辑规律，因为两个除法算式都有余数，不能画等号，如果除法算式没有余数，应用商不变的规律，那这个推理过程就是正确的。学生理解商不变的数学规律，但是在应用的过程中，没有深刻领会其内在涵义，导致不能遵从推理的逻辑规则与逻辑规律而犯了逻辑性错误。

正确解答：23÷5=4……3  被除数和除数都乘10的同时，余数也乘10，及（23×10）÷（5×10）=4……（3×10），所以230÷50=4……30

【典型错题6】一枚1元的硬币大约重6克。照这样推算，1000枚1元硬币大约重6千克，100万枚1元硬币大约重6吨，1亿枚1元硬币大约重（  ）吨？

 A. 60吨   B. 600吨   C. 6000吨

学生错解：选C

原因分析：这一题的解答需要用到推理的逻辑方法之一“共变法”，用于两种有关联的量之间的依存关系和变化规律。及硬币的枚数和硬币的质量存在一定的依存关系，就是一枚1元的硬币大约重6克，那根据这个关系找到变化规律。学生由于找不到这两个依存的关系或者变化规律，逻辑思维出现障碍导致错误。也有的学生根据积变化的规律在写关系量共变的过程中，由于单位变换掌握混乱，单位的变换出现问题导致错误。

正确解答：选B。先找到两个逻辑关系量“硬币的枚数”和“硬币的质量”，进而建立关系，根据变化规律解答。

三、教师针对逻辑性错误实施的错题教学策略

《义务教育数学课程标准(2011年版) 》的目标从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面阐述，并强调注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，特别注重发展学生的应用意识和创新意识。其中标准中的数学思考、问题解决和核心素养，无一不涉及到学生逻辑思维的培养。学生在学习的过程中如果出现逻辑性错误，就需要教师进行有针对性的教学。对于逻辑性错误典型错题的教学，要从两方面

入手，一方面是教师自身要具有一定的逻辑素养；另一方面是教师针对学生出现的逻辑性错误后而实施的教学策略。

（一） 教师掌握数学的逻辑知识，渗透逻辑初步

小学数学教学的目的之一是培养学生具有初步的逻辑思维能力，而小学数学教师除了具备一定的学科专业知识之外，还要掌握有关数学概念、命题、推理、证明等形式逻辑知识。这样才能更好地挖掘教材内在的逻辑关系，深刻地讲解概念、论证结论，科学地纠正学生所犯的逻辑错误 ，进而提升数学逻辑素养。

当然，小学数学教师自身还要认识到逻辑教学的重要性，以及认识到逻辑知识与方法在学生数学学习中所发挥的举足轻重的作用。在此基础上，根据小学生的思维特点和认知能力的发展水平，在教学中渗透一些浅层次的逻辑知识和开展逻辑锻炼。选择性地使学生接受一些逻辑知识和进行必要的浅层次的逻辑锻炼。比如，在五年级教学方程和等式，要表达两者之间的关系时就可以用集合的知识，还可以以学生的生活实践和经验为基础，通过生活中的例子使学生学会基本的逻辑方法。如逻辑推理中的“三段论”推理：“鸵鸟不会飞，鸵鸟是鸟；所以一些鸟不会飞。”这样在无形中渗透可能会比枯燥的数学题目反复训练要有效得多。

（二）小学数学逻辑性错误典型错题的教学策略

小学数学的每一领域、每一单元、每一课时的内容实际上就是让学生理解一些概念，并在深刻理解概念的基础上，进行正确的判断、推理去发现、解决数学问题。所有这些数学教学活动，无非就是形式逻辑的思维形式和规律的训练。教师如果在教学的过程中，由于受到各种因素的影响，忽视了概念、判断和推理的教学，使学生产生迷糊的认识，导致学生在做题的过程中出现各种各样的逻辑错误。为了有针对性并有效的利用这些逻辑错误，教师要对逻辑性错题进行教学。

1.设计教学，做好逻辑性错题的预设

教师要树立系统化逻辑思维，将零散的逻辑性错误问题进行全面有序的整理，建立典型错题教学系统，在教学设计中增加逻辑性错误典型错题预设，通过环环相扣的错题教学，把握学生的数学学习状态和进展，逐渐减少学生的错题数量，做到查漏补缺，提高错题教学的效果。

2.推进教学，做好逻辑性错题的干预

   （1）数学概念教学中，对逻辑性错题的干预

数学是研究数量关系和空间形式的科学，而客观事物的数量关系和空间形式的本质属性在思维中的反映就是数学概念。小学数学教材中的数学概念包括数字、图形符号、名词等，它们都能反映数量关系和空间形式的本质属性。为了防止学生在数学概念方面出现逻辑性错误，在数学概念教学中就要进行提前干预。及检验学生是否理解了学生所学的概念，能否指出它的内涵和外延。如在学习了“等式和方程”的概念以后，让学生进行举例说明，同时教师出示一些典型的错题如“2X+3Y=5是方程吗？”进行提前干预指导，避免学生因不清晰方程的概念外延而导致逻辑性错误。

有时数学概念的内涵与外延发生了反变关系的变化，学生对概念与概念间的关系就会出现理解失误、和相似概念的混淆，因此教师也要及时进行错题干预，从而规避致逻辑性错误的发生。如“长方形”的内涵意义是“对边平行且相等的四边形”， “长方形”的外延就是一切长方形。但是如果把“长方形”的内涵意义增多“四边相等”，那么“长方形”的外延就是一切长方形就变为专指“正方形”这一种图形了。通过这样的错题干预，学生就会区分长方形与正方形的内涵以及它们之间的相互关系了，及“正方形是特殊的长方形”。

（2）数学命题教学中，对逻辑性错题的干预

小学数学教材中的数学命题指的是定义、公式、性质和法则等，从逻辑学角 度看又称为判断。由一个或几个已知的判断推出另外的一个新判断的思维形式，又称为推理。应用逻辑知识在讲解题技巧的基础上还要注重逻辑分析，让学生“知其然并知其所以然”，并在此基础上学会举一反三和促进数学迁移能力的提高。

教师出示典型判断错题“任何整数的倒数都是这个整数分之一”，通过分析发现0除外，提前进行干预，学生以后在做题过程中碰到需要分类讨论的问题时就会进行知识的迁移，例如“整数与除法的关系a÷b=a/b”学生就会考虑到“b≠0”而规避逻辑性错误。

3.课后指导，设计好逻辑性错题的变式

教师还要充分发挥作业中教师评价的激励作用，通过查看学生的作业，了解学生的解题思路和想法，在作业批改过程中圈画出错误题目，分析学生在学习中遇到的问题和易错原因，增强学生的主观能动性，同时结合形式逻辑知识进行数学知识教学重点设计系列性的逻辑性典型题的变式，在巩固知识的同时，增强学生试错、改错的积极性和效率，提高逻辑思维能力，减少逻辑性错误典型错题的数量，提高学习效率。例如教师讲解“相遇问题”后，学生理解了“时间”、“方向”、“地点”等要素，就可以适当变换条件和问题，变式为“追击问题”。这样无论数学题目发生怎样的形势变化，学生都可以从容面对。

总之，小学数学教师要具备一定的逻辑素养，在数学内容教学时，与逻辑教学结合起来，结合小学生的心智发展，有目的的引导和培养学生的应变能力、逆向思维能力和逻辑思维能力，使得学生见微知著，在做题的过程中能有效的避免逻辑性错误，从而规避逻辑性错题，防错于未然，实现作业“减量提质”，进而提高学生的数学素养和发展数学能力。

【参考文献】     

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